安玉山

　　近年來，隨著光電技術的發展，國內外出現了一系列基于光柵技術的高準確度大行程的位移傳感器。光柵類傳感器與其他傳感器如電感、電容、容柵等比較，具有測量重復性好、準確度高、測量范圍大的特點，特別是在較大行程時仍能保持非常好的線性。此外，由于電子細分技術和計算機技術的發展，大大提高了光柵類傳感器的準確度，較高準確度的光柵類傳感器在25mm測量范圍內的最大示值誤差可達到MPE=±(0.03+0.5l)μm(式中:l為測量長度，單位:m)。國外生產這類光柵傳感器的廠家主要是德國HEIDENHAIN公司，國內也有廠家成功研制了這類傳感器。

　　這類光柵式位移傳感器主要用于量塊測量，可實現在一定長度范圍內的直接測量。在國外這種方法已進入實用階段，而且有多家公司研制了基于光柵式位移傳感器的量塊檢定儀，如德國JENA公司、Mahr公司、瑞士TESA公司、美國DZTOOLS公司等，國內廠家也有類似的產品。同比較測量相比，直接測量的優越之處在于:

　　(1)配備的標準量塊大大減少，減少維護費用。
　　(2)對于各種非標準規格量塊，無須研合出相應尺寸，可直接測量，大大提高了測量準確度。
　　(3)減少更換標準量塊的次數，提高工作效率等。

　　下面根據規程規定的環境條件和國外該類儀器的典型技術指標對直接測量量塊時的測量不確定度進行分析，在這里，我們規定直接測量的范圍或比較測量中的差值不大于5mm。

　　量塊檢定儀技術指標簡單介紹如下:該量塊檢定儀的直接測量范圍為(0～25)mm。在直接測量范圍內，最大允許示值誤差不大于±(0.03+l/1000)μm(l為測量長度，單位:mm)。測量時我們用二等量塊做標準。    

　　一、數學模型

　　1.量塊中心長度表示式
　　利用二等標準量塊和量塊檢定儀檢定量塊時，被檢量塊中心長度可表示為:
　　l=l_s+m-l_sα_sΔt-l_sΔα(t-20)-δ_s(ΔP_s)+δ(ΔP)  (1)
　　式中:l——被檢量塊在20℃時的中心長度；l_s——標準量塊在20℃時的中心長度；m——量塊檢定儀讀數；t——被檢量塊溫度；t_s——標準量塊溫度；Δt=t-t_s，α——被檢量塊在20℃時的線性熱膨脹系數；α_s——標準量塊在20℃時的線性熱膨脹系數；Δα=α-α_s，δ_s(ΔP_s)、δ(ΔP)——測量點偏離標準和被檢量塊中心所產生的誤差，該值大小與測量點對中心的偏移量有關。

　　2.靈敏系數和合成標準不確定度表示式
　　對(1)式中的各影響量求偏導數，可得到對應于各影響量的靈敏系數:
    
    式中:h_s、h——標準和被測量塊長度變動量。
    因此，被測量塊中心長度l的合成標準不確定度u_c²(l)可表示為:
　　u_c²(l)=c₁²u²(l_s)+c₂²u²(m)+c₃²u²(α_s)+c₄²u²(Δt)+c₅²u²(Δα)+c₆²u²(t)+c₇²u²(ΔP_s)+c₈²u²(ΔP)
    

　　二、與各影響量相關的標準不確定度、自由度及不確定度分量分析

　　由于不確定度與標準量塊和被測量塊長度有關，因此在分析時，我們以標準二等量塊長度為10mm，被檢量塊長度為15mm為例，此時量塊檢定儀的直接讀數m約為5mm。

　　1.標準量塊中心長度
　　當量塊長度為10mm時，二等量塊的測量不確定度U₉₉=60nm，覆蓋因子按k=2.8計算，則標準不確定度:
　　u(l_s)=60nm/2.8=21nm
　　按柯氏干涉儀檢定二等量塊不確定度估計統一取其自由度為ν=32。
　　于是對應的不確定度分量和自由度為:
　　u₁=c₁u(l_s)=21nm
　　ν₁=32

　　2.量塊檢定儀讀數m
　　量塊檢定儀讀數m對測量不確定度的影響可分為三部分，一是示值誤差的影響，定義為u(m₁)；二是測量重復性的影響，定義為u(m₂)；三是被檢量塊溫度偏離20℃，但不進行溫度修正引起的不確定度因素，定義為u(m₃)。并且認為它們相互獨立，因此標準不確定度u(m)為:
    
　　下面分別計算u(m₁)、u(m₂)和u(m₃)及其自由度。

　　(1)u(m₁)及其自由度的分析
　　量塊檢定儀的示值誤差不大于±(0.3+l/1000)μm(l為測量長度，單位:mm)。當測量長度為5mm時，其示值誤差絕對值最大為35nm，按均勻分布，覆蓋因子，因此標準不確定度u(m₁)為:
    u(m₁)=35/=20nm
    估計u(m₁)的相對不確定度為20%，則其自由度ν(m₁)為:
    ν(m₁)=1/(2×0.2²)=12

　　(2)u(m₂)及其自由度的分析
　　量塊檢定儀測量重復性可通過重復測量獲得，其不確定度分量按A類評定。任取一量塊放置在干涉儀上，進行20次獨立的重復測量。重復測量值如下(單位:μm):
    0，0.01，0.01，0，0.02，0.01，0.02，0.01，0，0，0.01，0.01，0.01，0，0.02，0.01，0.02，0，0.01，0.01
    計算其單次測量的標準不確定度:σ=7nm，實際測量時量塊檢定儀讀數由標準量塊和被測量塊高度差組成，測量時取兩次讀數平均值為測量結果，則標準不確定度u(m₂)為:
    
    自由度ν(m₂)為:
    ν(m₂)=20-1=19

　　(3)u(m₃)及其自由度的分析
　　檢定三等量塊時，環境溫度要求為(20±0.3)℃，并且在該溫度范圍內對量塊溫度不作修正，溫度分布為均勻分布，覆蓋因子，則溫度偏離20℃所引起的不確定度分量u(m₃)為:
    
    估計u(m₃)的相對不確定度為20%，則其自由度ν(m₃)為:
    ν(m₃)=1/(2×0.2²)=12

　　(4)u(m)及其自由度的分析
　　標準不確定度u(m)為:
    
    自由度ν(m)為:
    

　　(5)不確定度分量u₂及其自由度
　　不確定度分量u₂為:
　　u₂=c₂u(m)=23nm
　　自由度ν₂為:
　　ν₂=19

　　3.標準量塊的線性熱膨脹系數α_s
　　規程規定鋼制量塊的線性熱膨脹系數應在(11.5±1)×10^-6℃^-1范圍內，按均勻分布計算，標準不確定度u(α_s)為:
    
    估計u(α_s)的相對標準不確定度為20%，則自由度ν(α_s):
    ν(α_s)=1/(2×0.2²)=12
    檢定三等量塊時溫度最大差Δt以0.04℃計算，因此對應的不確定度分量和自由度為:
    u₃=c₃u(α_s)=10×10⁶×0.04×0.577×10^-6=0.23nm
    ν₃=12

　　4.標準量塊和被測量塊的溫度差Δt
　　檢定三等量塊時溫度最大差Δt在±0.04℃范圍內，按均勻分布，其標準不確定度u(Δt)為:
    u(Δt)=0.04/=0.023℃
    估計u(Δt)的相對標準不確定度為10%，則其自由度為:
    ν(Δt)=1/(2×0.1²)=50
    對應的不確定度分量和自由度為:
    u₄=c₄u(Δt)=10×10⁶×11.5×10^-6×0.023=3nm
    ν₄=50

　　5.標準量塊和被測量塊的線性熱膨脹系數差Δα
　　鋼制量塊的線性熱膨脹系數在(11.5±1)×10^-6℃^-1范圍內，假定標準量塊和被測量塊的線性熱膨脹系數均在±1×10^-6℃^-1范圍內均勻分布，則兩量塊的線性熱膨脹系數差Δα應在±2×10^-6℃^-1范圍內服從三角分布。因此其標準不確定度為:
    
    估計u(Δα)的相對標準不確定度為10%，則其自由度為:
    ν(Δα)=1/(2×0.1²)=50
    測量三等量塊時，被測量塊偏離20℃標準溫度不超過0.3℃，于是對應的不確定度分量和自由度為:
    u₅=c₅u(Δα)=10×10⁶×0.3×0.816×10^-6=3nm
    ν₅=50

　　6.被測量塊溫度t
　　在進行量塊測量時，認為量塊溫度t等于20℃。實際上量塊溫度在(20±0.3)℃范圍內，且服從均勻分布，則其標準不確定度為:
    
    估計u(t)的相對標準不確定度為10%，則其自由度為:
    ν(t)=1/(2×0.1²)=50
    線性熱膨脹系數差Δα在±2×10^-6℃^-1范圍內服從三角分布，取Δα的絕對值為1×10^-6℃^-1，則其對應的不確定度分量和自由度為:
    u₆=c₆u(t)=10×10⁶×1×10^-6×0.173=2nm
    ν₆=50

　　7.標準量塊測點對中心點的偏差ΔP_s
　　測量時，由于采用定位裝置，測點對中心點偏差較小。假定測點位置在量塊中心0.6mm區域內均勻分布，則其標準不確定度為:
    
    估計u(ΔP_s)的相對標準不確定度為20%，則其自由度為:
    ν(ΔP_s)=1/(2×0.2²)=12
    量塊長度為10mm時，二等量塊的長度變動量為100nm，則其對應的不確定度分量和自由度為:
    u₇=c₇u(ΔP_s)=100/3.7×0.173=5nm
    ν₇=12

　　8.被測量塊測點對中心點的偏差ΔP
　　與標準量塊相同，假定測點位置在量塊中心0.6mm區域內均勻分布，則其標準不確定度為:
    
    估計u(ΔP)的相對標準不確定度為20%，則其自由度為:
    ν(ΔP)=1/(2×0.2²)=12
    量塊長度為15mm時，三等量塊的長度變動量為160nm，對應的不確定度分量和自由度為:
    u₈=c₈u(ΔP)=160/3.7×0.173=7nm
    ν₈=12

　　9.合成標準不確定度及其自由度和擴展不確定度
　　合成標準不確定度為:
    
    有效自由度為:
    
    取置信概率為0.99，對應的有效自由度ν_eff=79，按包含因子k=3計算，則擴展不確定度為99nm。
    當被測量塊長度為15mm時，三等量塊測量不確定度允許值為115nm，因此該方法滿足三等量塊測量要求。

　　通過上述分析，我們認為利用大量程位移傳感器測量量塊時，當直接測量范圍不大于5mm時，測量不確定度在規程規定的條件下能夠滿足三等量塊的測量要求。
　　作者單位【深圳市計量質量檢測研究院】